Nota Luas & Isipadu Kisaran SPM Matematik Tambahan (Tingkatan 5)
Apa itu Luas & Isipadu Kisaran?
Luas di bawah lengkung ialah luas kawasan antara graf dan paksi-x (atau paksi-y) dalam satu selang tertentu. Isipadu kisaran pula ialah isipadu pepejal yang terhasil apabila kawasan tersebut dikisarkan (diputar) 360 darjah pada paksi-x atau paksi-y. Kedua-dua topik ini menggunakan pengamiran untuk mendapatkan jawapan.
Idea Utama: Guna Pengamiran Terhad
Untuk cari luas, kita amirkan fungsi antara dua had, iaitu nilai x atau y di hujung kawasan. Untuk isipadu, kita bayangkan kawasan berputar penuh mengelilingi paksi dan menghasilkan pepejal bulat, dan pengamiran menjumlahkan semua keratan rentas bulat yang sangat nipis. Langkah pertama biasanya cari titik persilangan supaya kita tahu had bawah dan had atas.
Formula Penting
Luas pada paksi-x: L = kamir y dx dari a ke b. Luas pada paksi-y: L = kamir x dy dari a ke b. Isipadu kisaran pada paksi-x: V = pi kamir y^2 dx dari a ke b. Isipadu kisaran pada paksi-y: V = pi kamir x^2 dy dari a ke b. Untuk luas atau isipadu antara dua lengkung, tolak fungsi bawah daripada fungsi atas (untuk isipadu, tolak y2^2 - y1^2 di dalam kamiran).
Kesilapan Biasa & Tip Peperiksaan
Kesilapan paling kerap ialah lupa kuasa dua pada y untuk isipadu, atau lupa faktor pi. Bila kisaran pada paksi-y, kamu WAJIB tukar persamaan supaya x atau x^2 dalam sebutan y dahulu, jangan biar dalam bentuk y = f(x). Pastikan had betul (a ialah nilai kecil, b ialah nilai besar) dan jika luas keluar negatif, ambil nilai mutlak kerana luas tidak boleh negatif.
Kaitan & Aplikasi
Topik ini datang daripada bab Pengamiran, jadi kamu perlu kuat dalam kamir sebutan algebra dan mencari titik persilangan dua graf. Dalam dunia sebenar, isipadu kisaran digunakan untuk mengira isipadu objek berbentuk simetri berputar seperti botol, cawan, tayar dan bahagian mesin. Soalan SPM selalunya gabungkan luas dan isipadu dalam satu soalan struktur yang membawa markah tinggi.
Cuma SkorA Juara satukan Active Recall + Spaced Repetition dalam matlamat harian anda — setiap soalan dibawa kembali tepat sebelum anda lupa, supaya kekal untuk hari SPM.
Latih percuma dalam app →Konsep berkaitan
Soalan Lazim
Bila guna dx dan bila guna dy?
Guna dx bila kisaran atau luas pada paksi-x, dan hadnya ialah nilai x. Guna dy bila pada paksi-y, dan hadnya ialah nilai y. Untuk paksi-y, tukar persamaan menjadi bentuk x atau x^2 dalam sebutan y dahulu.
Kenapa formula isipadu ada pi dan kuasa dua?
Sebab bila kawasan berputar penuh, setiap keratan rentas menjadi bulatan dengan jejari sama dengan y (atau x). Luas bulatan ialah pi r^2, jadi kita amirkan pi y^2 dx untuk menjumlahkan semua keratan bulat nipis itu.
Macam mana cari had a dan b?
Cari titik persilangan graf dengan paksi atau dengan graf lain. Samakan dua persamaan atau letak y = 0 (untuk paksi-x) lalu selesaikan untuk dapat nilai x atau y. Nilai kecil jadi had bawah, nilai besar jadi had atas.